Bài tập 4, § 2

Cho C là một vành $p$ Cohen có độ dài vô hạn, và $k$ là trường thặng dư của nó. Cho A là một vành, và $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy giảm các iđêan của A thỏa mãn $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. Cuối cùng, cho $\overline{\varphi}: k \to A/J_0$ là một đồng cấu vành, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một $p$-cơ sở của $k$, $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của C nâng $p$-cơ sở này, $(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của A, sao cho ảnh của $a_\lambda$ trong $A/J_0$ là $\overline{\varphi}(\xi_\lambda)$. a) Với mọi $n \in \mathbf{N}$, tồn tại một đồng cấu duy nhất $\varphi_n$ của $C/p^{n+1}C$ vào $A/J_n$ sao cho $\varphi_n \circ \rho_{n,i}^C = \rho_{n,i}^A \circ \overline{\varphi}$ và ảnh qua $\varphi_n$ của lớp của $x_\lambda$ là lớp của $a_\lambda$. (Sử dụng các Bài tập 2 và 3.) b) Giả sử rằng A là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô xác định bởi lọc $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Khi đó tồn tại một đồng cấu vành duy nhất $\varphi$ của C vào A, sao cho $\varphi(x_\lambda) = a_\lambda$ với $\lambda \in \Lambda$, và sao cho $\varphi$ gây ra $\overline{\varphi}$ bằng cách chuyển qua các thương. Đồng cấu này liên tục. c) Giả sử rằng vành A là địa phương, Hausdorff và đầy đủ, rằng $J_n = m_A^{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{N}$, rằng $A/J_0 = k$ và rằng $\overline{\varphi}$ là ánh xạ đồng nhất. Chứng minh rằng ảnh của C trong A qua $\varphi$ là vành con Cohen duy nhất của $A'$ chứa mỗi phần tử $a_\lambda$, và do đó hãy đưa ra một chứng minh khác của phần a) của Định lý 1 của § 2, No. 2; nếu $k$ là hoàn hảo và C là vành W(k), ta thu được một chứng minh khác của Định lý 2 của § 2, No. 4.