Exercice 6, § 2

Soient A un anneau et $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante d’idéaux de A. On suppose que A est séparé et complet pour la topologie définie par la filtration $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ et qu’on a $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. On note $\pi_n$ l’application canonique de A sur $A/J_n$. Soient R un anneau parfait de caractéristique $p$ et $\overline{\varphi}$ un homomorphisme d’anneaux de R dans $A/J_0$. a) Il existe une application $\varphi$ de R dans A, et une seule, telle que l’on ait $\overline{\varphi} = \pi_0 \circ \varphi$ et $\varphi(x^p) = \varphi(x)^p$ pour tout $x \in R$. De plus, on a $\varphi(1) = 1$ et $\varphi(xy) = \varphi(x) \varphi(y)$ pour $x$ et $y$ dans R. Lorsque A est un anneau de caractéristique $p$, $\varphi$ est un homomorphisme d’anneaux. (On pourra utiliser l’exercice précédent.) b) Pour tout $n \in \mathbf{N}$, il existe un unique homomorphisme d’anneaux $v_n : W_{n+1}(A/J_0) \to A/J_n$ rendant commutatif le diagramme

c) Posons $u_n = v_n \circ W_{n+1}(\overline{\varphi}) \circ F^{-n}$. Alors, pour tout $n \in \mathbf{N}$, le diagramme suivant, où les flèches verticales désignent les projections canoniques, est commutatif

d) Il existe un unique homomorphisme d’anneaux $u$ rendant commutatif le diagramme suivant

L’homomorphisme $u$ est continu quand on munit $W(R)$ de la topologie $p$-adique, et pour tout $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} \in W(R)$, on a $u(a) = \sum_{n=0}^{\infty} p^n \varphi(a_n^{p^{-n}})$.

(L’existence de $u$ découle de ce qui précède. Pour prouver l’unicité de $u$, sa continuité et son expression explicite, utiliser l’égalité $\varphi = u \circ \tau$ où $\varphi$ est l’application de $R$ dans $A$ construite en $a$ et $\tau : R \to W(R)$ l’application définie au § 1, n° 5.)

e) Donner du th. 2 du § 2, n° 4, une démonstration autre que celle du texte et que celle de l’exerc. 4, c).