Bài tập 6, § 2

Cho A là một vành và $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy giảm các iđêan của A. Giả sử rằng A là tách được và đầy đủ đối với tôpô xác định bởi lọc $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ và rằng $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ với mọi số nguyên $n \geqslant 0$. Gọi $\pi_n$ là ánh xạ chính tắc của A lên $A/J_n$. Gọi R là một vành hoàn hảo có đặc số $p$ và $\overline{\varphi}$ là một đồng cấu vành từ R vào $A/J_0$. a) Tồn tại một ánh xạ $\varphi$ từ R vào A, và chỉ một ánh xạ như vậy, sao cho $\overline{\varphi} = \pi_0 \circ \varphi$ và $\varphi(x^p) = \varphi(x)^p$ với mọi $x \in R$. Hơn nữa, ta có $\varphi(1) = 1$ và $\varphi(xy) = \varphi(x) \varphi(y)$ với $x$ và $y$ thuộc R. Khi A là một vành có đặc số $p$, $\varphi$ là một đồng cấu vành. (Có thể sử dụng bài tập trước.) b) Với mọi $n \in \mathbf{N}$, tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $v_n : W_{n+1}(A/J_0) \to A/J_n$ làm cho biểu đồ

giao hoán. c) Đặt $u_n = v_n \circ W_{n+1}(\overline{\varphi}) \circ F^{-n}$. Khi đó, với mọi $n \in \mathbf{N}$, biểu đồ sau, trong đó các mũi tên đứng biểu thị các phép chiếu chính tắc, là giao hoán

d) Tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $u$ làm cho biểu đồ sau giao hoán

Đồng cấu vành $u$ liên tục khi $W(R)$ được trang bị tôpô $p$-adic, và với mọi $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} \in W(R)$, ta có $u(a) = \sum_{n=0}^{\infty} p^n \varphi(a_n^{p^{-n}})$.

(Sự tồn tại của $u$ suy ra từ điều đã nêu trước đó. Để chứng minh tính duy nhất của $u$, tính liên tục của nó và biểu thức tường minh của nó, hãy sử dụng đẳng thức $\varphi = u \circ \tau$ trong đó $\varphi$ là ánh xạ từ R vào A được xây dựng trong a) và $\tau : R \to W(R)$ là ánh xạ được định nghĩa trong § 1, No. 5.)

e) Hãy cho, đối với th. 2 của § 2, No. 4, một chứng minh khác với chứng minh trong văn bản và chứng minh của bài tập 4, c).