Exercice 7, § 2

Algèbre commutative, IX, p. 71

a) Soient $R$ un anneau parfait de caractéristique $p$ , et $R'$ un anneau de caractéristique $p$ . Soit $f$ un homomorphisme de $R$ dans $R'$ . Alors l’homomorphisme $W(f) : W(R) \to W(R')$ est l’unique homomorphisme rendant commutatif le diagramme suivant

\begin{array}{ccc} W(R) & \xrightarrow{W(f)} & W(R') \\ \downarrow \Phi_0 & & \downarrow \Phi_0 \\ R & \xrightarrow{f} & R' . \end{array}

(Utiliser l’exercice précédent.) En particulier, prenant pour $f$ l’élévation à la puissance $p$ -ième dans $R$ , prouver que $F_R$ est l’unique endomorphisme de $W(R)$ tel que $\Phi_0 \circ F_R = f \circ \Phi_0$ . Il est caractérisé par les égalités

F_R(\tau(x)) = \tau(x^p) \quad \text{pour tout } x \in R .

b) Soit $A$ un anneau séparé et complet pour la topologie $p$ -adique. On suppose que la multiplication par $p.1_A$ dans $A$ est injective et que $A/pA$ est un anneau parfait. Alors il existe un unique endomorphisme $\sigma$ de $A$ tel que $\sigma(x) \equiv x^p \mod. pA$ pour $x \in A$ , et l’inverse de l’isomorphisme $t_\sigma : A \to W(A/pA)$ décrit dans l’exerc. 14, p. 44 est donné par

(a_i)_{i \in \mathbf{N}} \mapsto \sum_{i=0}^{\infty} \varphi(a_i)^{p^{-i}} p^i ,

où $\varphi : A/pA \to A$ est l’unique application qui donne l’identité de $A/pA$ par passage au quotient et vérifie $\varphi(x^p) = \varphi(x)^p$ pour $x \in R$ (cf. exerc. 6, a)).

Solution

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