Bài tập 7, § 2

a) Cho $R$ là một vành hoàn hảo có đặc số $p$, và $R'$ là một vành có đặc số $p$. Cho $f$ là một đồng cấu của $R$ vào $R'$. Khi đó đồng cấu $W(f) : W(R) \to W(R')$ là đồng cấu duy nhất làm cho biểu đồ sau giao hoán

(Sử dụng bài tập trước.) Đặc biệt, lấy $f$ là phép nâng lên lũy thừa $p$ trong $R$, hãy chứng minh rằng $F_R$ là tự đồng cấu duy nhất của $W(R)$ sao cho $\Phi_0 \circ F_R = f \circ \Phi_0$. Nó được đặc trưng bởi các đẳng thức

b) Cho $A$ là một vành tách được và đầy đủ đối với tôpô $p$-adic. Giả sử phép nhân với $p.1_A$ trong $A$ là đơn ánh và $A/pA$ là một vành hoàn hảo. Khi đó tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $\sigma$ của $A$ sao cho $\sigma(x) \equiv x^p \mod. pA$ với $x \in A$, và nghịch đảo của đẳng cấu $t_\sigma : A \to W(A/pA)$ được mô tả trong Bài tập 14, p. 44, được cho bởi

trong đó $\varphi : A/pA \to A$ là ánh xạ duy nhất cho ánh xạ đồng nhất của $A/pA$ khi chuyển qua thương và thỏa mãn $\varphi(x^p) = \varphi(x)^p$ với $x \in R$ (xem Bài tập 6, a)).