Exercice 9, § 2

Soient $k$ un corps de caractéristique $p$, $C_k$ un $p$-anneau de longueur infinie, et de corps résiduel $k$. Soient $A$ un anneau local séparé et complet et $u : C_k \to A$ un homomorphisme local tel que l’homomorphisme déduit de $u$ par passage aux quotients fasse du corps résiduel $K$ de $A$ une extension séparable de $k$. Soit $C_K$ un $p$-anneau de longueur infinie, de corps résiduel $K$. Prouver qu’il existe des homomorphismes locaux $i : C_k \to C_K$ et $v : C_K \to A$ tels que $u = v \circ i$ et que $v$ induise l’identité sur $K$ par passage aux quotients.