Bài tập 9, § 2

Cho $k$ là một trường có đặc số $p$, $C_k$ là một $p$-vành có độ dài vô hạn, với trường thặng dư $k$. Cho $A$ là một vành địa phương đầy đủ và tách, và $u : C_k \to A$ là một đồng cấu địa phương sao cho đồng cấu suy ra từ $u$ bằng cách chuyển qua các thương biến trường thặng dư $K$ của $A$ thành một mở rộng tách được của $k$. Cho $C_K$ là một $p$-vành có độ dài vô hạn, với trường thặng dư $K$. Chứng minh rằng tồn tại các đồng cấu địa phương $i : C_k \to C_K$ và $v : C_K \to A$ sao cho $u = v \circ i$ và sao cho $v$ cảm sinh đồng nhất trên $K$ khi chuyển qua các thương.