Exercice 2, § 3

Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre topologique. On dit que B est une A-algèbre formellement lisse¹ si, pour toute A-algèbre topologique discrète C, tout idéal j de C, de carré nul, et tout A-homomorphisme continu $u : B \to C/j$, il existe un A-homomorphisme continu $v : B \to C$ qui, par passage au quotient, induise $u$.

Soient A un anneau, B une A-algèbre. On dit que B est une A-algèbre lisse si B est une A-algèbre formellement lisse quand on munit A et B des topologies discrètes. a) Soient A un anneau topologique et B une A-algèbre formellement lisse. Soient C un anneau et j un idéal de C. Munissons C de la topologie j-adique, et supposons C séparé et complet pour cette topologie. Alors, pour tout A-homomorphisme continu $u : B \to C/j$, il existe un A-homomorphisme continu $v : B \to C$ qui, par passage au quotient, induise $u$. b) Soit A un anneau. Toute algèbre de polynômes sur A est une A-algèbre lisse. c) Soit A un anneau topologique. Si B est une A-algèbre formellement lisse et C une B-algèbre formellement lisse, alors C est une A-algèbre formellement lisse. d) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre formellement lisse, A’ une A-algèbre topologique. Alors la A’-algèbre topologique $B \otimes_A A'$ (III, § 2, exerc. 28) est une A’-algèbre formellement lisse. e) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre formellement lisse. Soit S (resp. T) une partie multiplicative de A (resp. B) telle que l’image de S dans B soit contenue dans T. Alors $T^{-1}B$ est une $S^{-1}A$-algèbre formellement lisse (voir III, § 2, exerc. 27 pour la topologie de $T^{-1}B$ et $S^{-1}A$). f) Soient $n$ un entier $\geqslant 1$, A un anneau topologique, $(B_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de A-algèbres topologiques. Pour que $\prod_{i=1}^n B_i$ soit une A-algèbre formellement lisse, il faut et il suffit que $B_i$ soit une A-algèbre formellement lisse pour $1 \leqslant i \leqslant n$. g) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre topologique, $\hat{A}$ et $\hat{B}$ les séparés complétés respectifs de A et B. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : (i) B est une A-algèbre formellement lisse ; (ii) $\hat{B}$ est une A-algèbre formellement lisse ; (iii) $\hat{B}$ est une $\hat{A}$-algèbre formellement lisse. h) Reprenons les notations et hypothèses de e). Alors $B\{T^{-1}\}$ est une $A\{S^{-1}\}$-algèbre formellement lisse.