Bài tập 2, § 3

Cho A là một vành tôpô, B là một đại số trên A tôpô. Ta nói rằng B là một đại số trên A trơn hình thức¹ nếu, với mọi đại số trên A tôpô rời rạc C, mọi iđêan j của C, có bình phương bằng không, và mọi đồng cấu A liên tục $u : B \to C/j$, tồn tại một đồng cấu A liên tục $v : B \to C$ mà, bằng cách chuyển qua thương, cảm sinh u.

Cho A là một vành, B là một đại số trên A. Ta nói rằng B là một đại số trên A trơn nếu B là một đại số trên A trơn hình thức khi A và B được trang bị các tôpô rời rạc. a) Cho A là một vành tôpô và B là một đại số trên A trơn hình thức. Cho C là một vành và j là một iđêan của C. Trang bị cho C tôpô j-adic, và giả sử C tách được và đầy đủ đối với tôpô này. Khi đó, với mọi đồng cấu A liên tục $u : B \to C/j$, tồn tại một đồng cấu A liên tục $v : B \to C$ mà, bằng cách chuyển qua thương, cảm sinh u. b) Cho A là một vành. Mọi đại số đa thức trên A đều là một đại số trên A trơn. c) Cho A là một vành tôpô. Nếu B là một đại số trên A trơn hình thức và C là một đại số trên B trơn hình thức, thì C là một đại số trên A trơn hình thức. d) Cho A là một vành tôpô, B là một đại số trên A trơn hình thức, A’ là một đại số trên A tôpô. Khi đó đại số trên A’ tôpô $B \otimes_A A'$ (III, § 2, exerc. 28) là một đại số trên A’ trơn hình thức. e) Cho A là một vành tôpô, B là một đại số trên A trơn hình thức. Cho S (tương ứng T) là một tập con nhân của A (tương ứng B) sao cho ảnh của S trong B được chứa trong T. Khi đó $T^{-1}B$ là một đại số trên $S^{-1}A$ trơn hình thức (xem III, § 2, exerc. 27 về tôpô của $T^{-1}B$ và $S^{-1}A$). f) Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$, A là một vành tôpô, $(B_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ là một họ các đại số trên A tôpô. Để $\prod_{i=1}^n B_i$ là một đại số trên A trơn hình thức, điều kiện cần và đủ là B_i là một đại số trên A trơn hình thức với $1 \leqslant i \leqslant n$. g) Cho A là một vành tôpô, B là một đại số trên A tôpô, $\hat{A}$ và $\hat{B}$ là các hoàn thành tách được tương ứng của A và B. Khi đó ba điều kiện sau là tương đương: (i) B là một đại số trên A trơn hình thức; (ii) $\hat{B}$ là một đại số trên A trơn hình thức; (iii) $\hat{B}$ là một đại số trên $\hat{A}$ trơn hình thức. h) Nhắc lại các ký hiệu và giả thiết của e). Khi đó $B\{T^{-1}\}$ là một đại số trên $A\{S^{-1}\}$ trơn hình thức.