Exercice 3, § 3

Algèbre commutative, IX, p. 76

Soient k un corps et A une k-algèbre commutative. Pour tout entier $i \geqslant 1$ posons $B_i = A \otimes_k A \otimes_k \cdots \otimes_k A$ et munissons $B_i$ de la structure de A-algèbre obtenue en faisant agir A sur la première composante. Posons $C_1 = B_2, C_2 = B_3, C_3 = B_4 \oplus B_3$ , et définissons des applications A-linéaires $d_2 : C_2 \to C_1$ et $d_3 : C_3 \to C_2$ par les formules

d_3((1 \otimes x \otimes y \otimes z, 1 \otimes \alpha \otimes \beta)) = x \otimes y \otimes z - 1 \otimes xy \otimes z + 1 \otimes x \otimes yz - z \otimes x \otimes y + \\ + 1 \otimes \alpha \otimes \beta - 1 \otimes \alpha \beta + \beta \otimes \alpha,

d_2(1 \otimes \alpha \otimes \beta) = \alpha \otimes \beta - 1 \otimes \alpha \beta + \beta \otimes \alpha,

¹ Si A est une algèbre locale, noethérienne et complète sur un corps (discret) k, cette définition coïncide avec celle donnée en VIII, p. 98, exerc. 30, d’après l’exerc. 5 ci-après.

pour tout choix d’éléments x, y, z, α, β de A. On obtient ainsi un complexe de A-modules

C_k(A): C_3 \xrightarrow{d_3} C_2 \xrightarrow{d_2} C_1 .

Si N est un A-module, on dira qu’une application k-bilinéaire $f : A \times A \to N$ est un 2-cocycle si l’on a l’identité $x f(y, z) - f(xy, z) + f(x, yz) - zf(x, y) = 0$ pour x, y et z dans A, et qu’elle est symétrique si l’on a $f(x, y) = f(y, x)$ pour tout couple $(x, y) \in A \times A$ .

a) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le complexe $\mathrm{Hom}_A(C_k(A), N)$ est acyclique pour tout A-module N ; (ii) quel que soit le A-module N, tout 2-cocycle symétrique $f : A \times A \to N$ est un 1-cobord, c’est-à-dire de la forme $f(a, b) = ag(b) + bg(a) - g(ab)$ avec $g \in \mathrm{Hom}_k(A, N)$ ; (iii) A est une algèbre lisse sur k.

b) Si A est un corps, les conditions précédentes sont aussi équivalentes à la condition que le complexe $C_k(A)$ soit acyclique.

Solution

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