Bài tập 3, § 3

Cho $k$ là một trường và $A$ là một $k$-đại số giao hoán. Với mọi số nguyên $i \geqslant 1$, đặt $B_i = A \otimes_k A \otimes_k \cdots \otimes_k A$ và trang bị cho $B_i$ cấu trúc của một $A$-đại số bằng cách cho $A$ tác động trên thành phần thứ nhất. Đặt $C_1 = B_2, C_2 = B_3, C_3 = B_4 \oplus B_3$, và định nghĩa các ánh xạ $A$-tuyến tính $d_2 : C_2 \to C_1$ và $d_3 : C_3 \to C_2$ bởi các công thức

¹ Nếu $A$ là một đại số địa phương, Noether và đầy đủ trên một trường $k$ (rời rạc), định nghĩa này trùng với định nghĩa được cho trong VIII, p. 98, exerc. 30, theo Bài tập 5 dưới đây.

với mọi lựa chọn các phần tử $x, y, z, \alpha, \beta$ của $A$. Do đó ta thu được một phức các $A$-môđun

Nếu $N$ là một $A$-môđun, ta nói rằng một ánh xạ $k$-song tuyến tính $f : A \times A \to N$ là một 2-cocycle nếu ta có đồng nhất thức $x f(y, z) - f(xy, z) + f(x, yz) - zf(x, y) = 0$ với $x, y$ và $z$ trong $A$, và nó là đối xứng nếu ta có $f(x, y) = f(y, x)$ với mọi cặp $(x, y) \in A \times A$.

a) Các điều kiện sau là tương đương: (i) phức $\mathrm{Hom}_A(C_k(A), N)$ là acyclic với mọi $A$-môđun $N$; (ii) với bất kỳ $A$-môđun $N$ nào, mọi 2-cocycle đối xứng $f : A \times A \to N$ đều là một đối biên 1, nghĩa là có dạng $f(a, b) = ag(b) + bg(a) - g(ab)$ với $g \in \mathrm{Hom}_k(A, N)$; (iii) $A$ là một đại số trơn trên $k$.

b) Nếu $A$ là một trường, các điều kiện trên cũng tương đương với điều kiện rằng phức $C_k(A)$ là acyclic.