Exercice 5, § 3

Soient A un anneau local noethérien contenant un corps k, et m l’idéal maximal de A. On suppose que A est une k-algèbre formellement lisse (le corps k étant discret). a) Soient K un corps de représentants de l’anneau $A/m^2$ (exerc. 4, b)), et $x_1, ..., x_d$ des éléments de m dont les images forment une base du K-espace vectoriel $m/m^2$. Soient K

l’anneau des polynômes en d variables $X_1, ..., X_d$, n son idéal engendré par $X_1, ..., X_d$, et φ l’homomorphisme de K dans $A/m^2$ qui à $X_i$ associe $x_i$ pour $1 \leq i \leq d$ et induit l’identité sur K. Alors φ induit un isomorphisme $\overline{\varphi}$ de K/$n^2$ sur $A/m^2$. b) Pour tout entier $n \geq 1$, il existe un homomorphisme $\psi_n : A \to K[X_1, ..., X_d]/n^{n+1}$ qui, par passage aux quotients induise $\overline{\varphi}^{-1}$. Un tel homomorphisme $\psi_n$ est surjectif. c) Pour tout entier $n \geq 1$, la longueur du A-module $A/m^{n+1}$ vaut au moins $\binom{d+n}{d}$ et l’on a $\dim(A) \geq d$. d) Pour toute extension $k'$ de degré fini de k, et tout idéal maximal $m'$ de l’anneau semi-local $A \otimes_k k'$, l’anneau local $(A \otimes_k k')_{m'}$ est régulier.