Bài tập 5, § 3

Cho A là một vành địa phương Noether chứa một trường k, và cho m là iđêan cực đại của A. Ta giả sử rằng A là một đại số trên k trơn hình thức (trường k là rời rạc). (a) Cho K là một trường các đại diện của vành $A/m^2$ (bài tập. 4, b)), và cho $x_1, ..., x_d$ là các phần tử của m mà ảnh của chúng tạo thành một cơ sở của không gian vectơ trên K $m/m^2$. Cho K

là vành các đa thức theo d biến $X_1, ..., X_d$, n là iđêan của nó sinh bởi $X_1, ..., X_d$, và φ là đồng cấu từ K vào $A/m^2$ gán $x_i$ cho $X_i$ với $1 \leq i \leq d$ và cảm sinh đồng nhất trên K. Khi đó φ cảm sinh một đẳng cấu $\overline{\varphi}$ của K/$n^2$ lên $A/m^2$. (b) Với mọi số nguyên $n \geq 1$, tồn tại một đồng cấu $\psi_n : A \to K[X_1, ..., X_d]/n^{n+1}$ mà, bằng cách chuyển qua các thương, cảm sinh $\overline{\varphi}^{-1}$. Một đồng cấu $\psi_n$ như vậy là toàn ánh. (c) Với mọi số nguyên $n \geq 1$, độ dài của A-môđun $A/m^{n+1}$ ít nhất là $\binom{d+n}{d}$ và ta có $\dim(A) \geq d$. (d) Với mọi mở rộng $k'$ có bậc hữu hạn của k, và mọi iđêan cực đại $m'$ của vành nửa địa phương $A \otimes_k k'$, vành địa phương $(A \otimes_k k')_{m'}$ là chính quy.