Exercice 8, § 3

Soient $k$ un corps et $K$ une extension de $k$. On dit que $K$ est formellement étale sur $k$ si, pour toute $k$-algèbre $A$, tout idéal $a$ de $A$, de carré nul, et tout $k$-homomorphisme $u$ de $K$ dans $A/a$, il existe un unique $k$-homomorphisme $v$ de $K$ dans $A$ qui donne $u$ par passage au quotient. a) Si $K$ est formellement étale sur $k$, les conditions équivalentes de l’exercice précédent sont vérifiées. (Si $M$ est un $K$-module, considérer la $k$-algèbre dont le $k$-espace vectoriel sous-jacent est $K \oplus M$, $M$ en étant un idéal de carré nul.) b) Inversement, si les conditions équivalentes de l’exercice précédent sont vérifiées, alors $K$ est formellement étale sur $k$. (Le corps $K$ étant séparable sur $k$, l’exerc. 4 permet de prouver l’existence de $v$.) c) Soit $B = (b_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $K$ telle que $(db_i)_{i \in I}$ soit une base de $\Omega_k(K)$ sur $K$. Si $K$ est séparable sur $k$, alors $k(B)$ est une extension transcendante pure de $k$ (utiliser le th. 2 de A, V, p. 125, le th. 1 de A, V, p. 97 et l’exerc. 6 de A, V, p. 165) et $K$ est formellement étale sur $k(B)$.