Bài tập 8, § 3

Cho $k$ là một trường và $K$ là một mở rộng của $k$. Người ta nói rằng $K$ là étale hình thức trên $k$ nếu, với mọi $k$-đại số $A$, mọi iđêan $a$ của $A$, có bình phương bằng không, và mọi $k$-đồng cấu $u$ từ $K$ vào $A/a$, tồn tại duy nhất một $k$-đồng cấu $v$ từ $K$ vào $A$ mà khi chuyển qua thương sẽ cho $u$. a) Nếu $K$ là étale hình thức trên $k$, các điều kiện tương đương của bài tập trước được thỏa mãn. (Nếu $M$ là một $K$-môđun, xét $k$-đại số có không gian $k$-vectơ cơ sở là $K \oplus M$, trong đó $M$ là một iđêan có bình phương bằng không.) b) Ngược lại, nếu các điều kiện tương đương của bài tập trước được thỏa mãn, thì $K$ là étale hình thức trên $k$. (Vì trường $K$ là tách được trên $k$, Bài tập 4 cho phép chứng minh sự tồn tại của $v$.) c) Cho $B = (b_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $K$ sao cho $(db_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $\Omega_k(K)$ trên $K$. Nếu $K$ là tách được trên $k$, thì $k(B)$ là một mở rộng siêu việt thuần túy của $k$ (sử dụng Định lý 2 của A, V, p. 125, Định lý 1 của A, V, p. 97 và Bài tập 6 của A, V, p. 165) và $K$ là étale hình thức trên $k(B)$.