Exercice 9, § 3

Soient $A$ un anneau local d’égales caractéristiques, $m_A$ son idéal maximal et $k$ un sous-corps de $A$. Alors le corps résiduel $\kappa_A$ est une $k$-algèbre. On dit que $k$ est un corps de représentants faible de $A$ si $\kappa_A$ est formellement étale sur $k$ (exerc. 8). a) Si $A$ possède un corps de représentants faible $k$, alors le séparé complété $\hat{A}$ de $A$ possède un unique corps de représentants contenant l’image de $k$ dans $\hat{A}$. b) Soit $B$ un anneau local inclus dans $A$, d’idéal maximal $m_B = m_A \cap B$. Si $\kappa_A$ est une extension séparable du corps résiduel $\kappa_B$ de $B$, tout corps de représentants faible de $B$ est contenu dans un corps de représentants faible de $A$ (utiliser l’exerc. 8, c)). c) Soit $B$ un anneau local inclus dans $A$, d’idéal maximal $m_B = m_A \cap B$. Supposons en outre que $A$ soit de caractéristique $p$ non nulle et contienne $B^p$. Alors il existe un corps de représentants faible de $A$ qui contienne un corps de représentants faible de $B$.