Bài tập 9, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương có các đặc số bằng nhau, $m_A$ là iđêan cực đại của nó và $k$ là một trường con của $A$. Khi đó trường thặng dư $\kappa_A$ là một $k$-đại số. Ta nói rằng $k$ là một trường đại diện yếu của $A$ nếu $\kappa_A$ là étale hình thức trên $k$ (Bài tập 8). a) Nếu $A$ có một trường đại diện yếu $k$, thì phần hoàn thành tách biệt $\hat{A}$ của $A$ có một trường đại diện duy nhất chứa ảnh của $k$ trong $\hat{A}$. b) Cho $B$ là một vành địa phương được chứa trong $A$, với iđêan cực đại $m_B = m_A \cap B$. Nếu $\kappa_A$ là một mở rộng tách được của trường thặng dư $\kappa_B$ của $B$, mọi trường đại diện yếu của $B$ đều được chứa trong một trường đại diện yếu của $A$ (sử dụng Bài tập 8, c)). c) Cho $B$ là một vành địa phương được chứa trong $A$, với iđêan cực đại $m_B = m_A \cap B$. Hơn nữa, giả sử rằng $A$ có đặc số khác không $p$ và chứa $B^p$. Khi đó tồn tại một trường đại diện yếu của $A$ chứa một trường đại diện yếu của $B$.