Exercice 11, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, E une extension finie de K, $\overline{A}$ la fermeture intégrale de A dans E. a) Pour tout idéal premier $p$ de A, il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers $\mathfrak{P}$ de $\overline{A}$ au-dessus de $p$ et les corps $\kappa(\mathfrak{P})$ sont des extensions finies de $\kappa(p)$. (Se ramener au cas où A est local d’idéal maximal $p$ et où $E = K$, et utiliser l’exerc. 10.) b) Soit P l’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1 de $\overline{A}$. Si $p \in P$, alors $\overline{A}_p$ est un anneau de valuation discrète. c) On a $\overline{A} = \bigcap_{p \in P} \overline{A}_p$ (dans E).