Exercice 21, § 4

a) Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions. Si $K$ est de caractéristique non nulle $p$ et si $E$ est une extension finie radicielle du corps des fractions rationnelles $K(X)$, il existe une extension finie radicielle $F$ de $K$ et une puissance $q$ de $p$ telle que $F(X^{1/q})$ soit une extension de $E$. b) Soit $A$ un anneau de Nagata intégralement clos. Alors l’anneau de polynômes $A[X]$ est japonais. c) Soit $A$ un anneau de Nagata intégralement clos. Alors tout anneau de polynômes $A[X_1, ..., X_n]$ en un nombre fini d’indéterminées est un anneau de Nagata.