Exercice 26, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, X l’espace topologique Spec(A), Nor(X) le sous-espace de X introduit à l’exerc. 25, Ā la clôture intégrale de A. On suppose qu’il existe un élément non nul f de A tel que l’anneau A[f^{-1}] soit intégralement clos, et que pour tout idéal maximal m de A, l’anneau Ā_m est une A_m-algèbre finie. Considérons Ā comme limite inductive filtrante croissante de sous-A-algèbres finies, Ā = \varinjlim (A_j)_{j \in J}. Posons X_j = \operatorname{Spec}(A_j) et soit G_j l’image dans X de X_j − Nor(X_j). a) Nor(X_j) est ouvert dans X_j. (Utiliser l’exerc. 25.) b) G_j est fermé dans X. c) Il existe un indice j_0 \in J tel que l’on ait G_{j_0} = \bigcap_{j \in J} G_j. d) Soit p \in \operatorname{Spec}(A). Alors pour j \in J assez grand, G_j ne contient pas p. e) Ā est une A-algèbre finie.