Exercice 29, § 4

Soient A un anneau de Nagata intégralement clos, et x un élément du corps des fractions de A, n’appartenant pas à A. Soient B l’anneau A[x] et a, b deux éléments non nuls de A tels que bx = a.

a) L’anneau $B\left[\frac{1}{b}\right]$ est intégralement clos.

b) Pour tout idéal maximal $m$ de $B$, la clôture intégrale de $B_m$ est une $B_m$-algèbre finie. (Utiliser l’exercice précédent.) c) La clôture intégrale de $B$ est une $B$-algèbre finie. (Utiliser l’exerc. 26.)