Exercice 14, § 1

Soient $A$ un anneau intègre complètement intégralement clos, $K$ son corps des fractions. Montrer que pour toute extension $L$ de $K$, la fermeture intégrale $A'$ de $A$ dans $L$ est un anneau complètement intégralement clos. (Se ramener au cas où $L$ est une extension quasi-galoisienne de degré fini $m$ de $K$; si $x \in L$ est tel qu’il existe $d \in A'$ tel que $dx^n \in A'$ pour tout $n \geqslant 0$, montrer d’abord qu’on peut supposer que $d \in A$, puis en déduire que si $c_i \ (1 \leqslant i \leqslant m)$ sont les coefficients du polynôme minimal de $x$ sur $K$, on a $d^m c_i^n \in A$ pour tout $n \geqslant 0$).