Exercice 6, § 1

Soient $A$ un anneau commutatif, $B$ une $A$-algèbre commutative; on suppose que les idéaux premiers minimaux de $B$ sont en nombre fini; soient $\mathfrak{p}_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) ces idéaux (on notera que cette hypothèse est vérifiée si $B$ est noethérien). Pour qu’un élément $x \in B$ soit entier sur $A$, il faut et il suffit que chacune de ses images canoniques $x_i$ dans $B/\mathfrak{p}_i$ soit entière sur $A$. (Si cette condition est vérifiée, montrer d’abord que $x$ est entier sur la sous-algèbre de $B$ engendrée par le nilradical $\mathfrak{N} = \bigcap_i \mathfrak{p}_i$ de B, et utiliser le fait que les éléments de $\mathfrak{N}$ sont nilpotents).