Exercice 15, § 2

Soient A un anneau, $\mathfrak{p}$ un idéal premier de A. Montrer que dans l’anneau de polynômes $B = A[X]$, l’idéal $\mathfrak{p}B = q$ est premier; l’idéal maximal de l’anneau local $B_q$ est égal à $\mathfrak{p}B_q$; si $k$ est le corps des fractions de $A/\mathfrak{p}$, $B_q/\mathfrak{p}B_q$ est isomorphe au corps des fractions rationnelles $k(X)$. Si A est intégralement clos, il en est de même de $B_q$.