Exercice 4, § 3

Soient B un anneau intègre, A un sous-anneau de B. On suppose qu’il existe $n \geqslant 1$ éléments $t_1, \ldots, t_n$ de B algébriquement indépendants sur A et tels que B soit entier sur $A[t_1, \ldots, t_n]$. Soient $\mathfrak{n}$ un idéal maximal de B, et $\mathfrak{p} = \mathfrak{n} \cap A$. Il y a alors un idéal premier $q$ de B contenu dans $\mathfrak{n}$, distinct de $\mathfrak{n}$ et contenant $\mathfrak{p}$. (Se ramener d’abord au cas où A est intégralement clos en considérant la clôture intégrale $A'$ de A (contenue dans le corps des fractions de B) et l’anneau $B' = B[A']$; dans le cas où A est intégralement clos, utiliser le th. 3 du § 2, no 4.)