Exercice 6, § 1

Soient R un anneau, A un sous-anneau de R tel que S = R − A soit non vide et que le produit de deux éléments de S appartienne à S.

a) Soient $a, a'$ deux éléments de A, $s, s'$ deux éléments de S tels que $sa \in A$ et $s'a' \in A$. Montrer que l’un des deux éléments $sa'$, $s'a$ appartient à A. En déduire que l’ensemble $\mathfrak{p}_1$ des éléments $a \in A$ pour lesquels il existe $s \in S$ tel que $sa \in A$ est un idéal premier de A.

b) Montrer que l’ensemble $\mathfrak{p}_0$ des $a \in A$ tels que $sa \in A$ pour tout $s \in S$ est un idéal premier de R et de A; c’est le plus grand idéal de R contenu dans A, et l’on a $\mathfrak{p}_0 \subset \mathfrak{p}_1$.

c) L’ensemble $n$ des éléments $x \in R$ tels qu’il existe $s \in S$ pour lequel $sx = 0$ est à la fois un idéal de R et un idéal de A, et l’on a $n \subset \mathfrak{p}_0$.

d) L’anneau A est intégralement fermé dans R.

e) Si R est un corps, A est un anneau de valuation pour R, $\mathfrak{p}_0 = (0)$ et $\mathfrak{p}_1$ est l’idéal maximal de A.