Bài tập 6, § 1

Cho R là một vành và A là một vành con của R sao cho S = R − A là không rỗng và tích của hai phần tử của S thuộc về S.

(a) Cho $a, a'$ là hai phần tử của A và s, s' là hai phần tử của S sao cho $sa \in A$ và $s'a' \in A$. Chứng minh rằng một trong hai phần tử $sa', s'a$ thuộc về A. Suy ra rằng tập hợp $p_1$ các phần tử $a \in A$ sao cho tồn tại $s \in S$ thỏa mãn $sa \in A$ là một iđêan nguyên tố của A.

(b) Chứng minh rằng tập hợp $p_0$ các $a \in A$ sao cho $sa \in A$ với mọi $s \in S$ là một iđêan nguyên tố của R và A; nó là iđêan lớn nhất của R được chứa trong A và $p_0 \subset p_1$.

(c) Tập hợp n các phần tử $x \in R$ sao cho tồn tại $s \in S$ mà $sx = 0$ vừa là một iđêan của R vừa là một iđêan của A và $n \subset p_0$.

(d) Vành A là đóng nguyên trong R.

(e) Nếu R là một trường, A là một vành định giá của R, $p_0 = (0)$ và $p_1$ là iđêan cực đại của A.