Exercice 2, § 2

Soient K, K’ deux extensions d’un corps k, $f$ et $f'$ des places respectives de K et K’ à valeurs dans un même corps algébriquement clos L. On suppose que les restrictions de $f$ et $f'$ à k coïncident. Montrer qu’il existe une extension composée (F, i, i’) de K et K’ (Alg., chap. VIII, § 8) et une place g de F à valeurs dans L tels que $f(x) = g(i(x))$ pour $x \in \overline{K}$ et $f'(x) = g(i'(x'))$ pour $x' \in \overline{K}'$. (Soient V, V’ les anneaux de $f$ et $f'$, A leur intersection commune avec k, $h : V \otimes_A V' \to L$ l’homomorphisme tel que $h(a \otimes a') = f(a) f'(a')$ pour $a \in V, a' \in V'$. En utilisant le fait que V et V’ sont des A-modules plats (§ 3, no 5, lemme 1), prouver que si $a \neq 0, a' \neq 0, a \otimes a' = (a \otimes 1)(1 \otimes a')$ n’est pas diviseur de zéro; si S est la partie multiplicative de $B = V \otimes_A V'$ formée de ces éléments, $S^{-1}B$ contient des sous-corps $K_1, K'_1$ respectivement isomorphes à K et K’, et est l’anneau engendré par $K_1 \cup K'_1$. Montrer que, si q est le noyau de h, il existe un idéal premier $\mathfrak{p}$ de B tel que $\mathfrak{p} \subset q$ et $\mathfrak{p} \cap S = \emptyset$, et montrer que l’on peut prendre pour F le corps des fractions de $S^{-1}B/S^{-1}\mathfrak{p}$.)