Bài tập 2, § 2

Cho $K, K'$ là hai mở rộng của một trường $k$ và $f$ và $f'$ lần lượt là các vị trí của $K$ và $K'$ với giá trị trong cùng một trường đóng đại số $L$. Giả sử rằng các hạn chế của $f$ và $f'$ lên $k$ trùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một mở rộng hợp thành $(F, i, i')$ của $K$ và $K'$ (Đại số, Chương VIII, § 8) và một vị trí $g$ của $F$ với giá trị trong $L$ sao cho $f(x) = g(i(x))$ với $x \in K$ và $f'(x) = g(i'(x'))$ với $x' \in K'$. (Cho $V, V'$ là các vành của $f$ và $f'$, $A$ là giao chung của chúng với $k$ và $h : V \otimes_A V' \to L$ là đồng cấu sao cho $h(a \otimes a') = f(a)f'(a')$ với $a \in V$, $a' \in V'$. Dùng sự kiện rằng $V$ và $V'$ là các A-môđun phẳng ($§ 3$, no. 5, Bổ đề 1), chứng minh rằng, nếu $a \neq 0$, $a' \neq 0$, $a \otimes a' = (a \otimes 1)(1 \otimes a')$ không là một ước của không; nếu $S$ là tập con nhân của $B = V \otimes_A V'$ gồm các phần tử này,

S^{-1}B chứa các trường con K,, K'_1 lần lượt đẳng cấu với K và K' và là vành sinh bởi K_1 \cup K'_1. Chứng minh rằng, nếu q là hạt nhân của h, tồn tại một iđêan nguyên tố p trong B sao cho p \subset q và p \cap S = \varnothing và chứng minh rằng F có thể lấy là trường phân thức của S^{-1}B/S^{-1}p.)