Exercice 3, § 2

a) Soient K un corps, $f$ une place de K à valeurs dans un corps ordonnable L (Alg., chap. VI, § 2, exerc. 8); montrer que K est ordonnable. (Noter que pour une famille finie d’éléments $(a_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de K, il y a toujours un indice j tels que $f(a_i/a_j) \neq \infty$ pour tout i).

Si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une suite d’éléments de $K$ telle que $f\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \neq \infty$, montrer que l’on a $f(x_i) \neq \infty$ pour tout $i$.

b) Soient $K$ un corps ordonné, $G$ un sous-corps de $K$; montrer que l’anneau $F(G)$ des éléments de $K$ non infiniment grands par rapport à $G$ (loc. cit., exerc. 11) est un anneau de valuation pour $K$, et l’idéal $I(G)$ des éléments de $F(G)$ infiniment petits par rapport à $G$ est l’idéal maximal de cet anneau; on a donc ainsi sur $K$ une place à valeurs dans $k(G) = F(G)/I(G)$, qui se réduit à l’identité dans $G$; on dit que c’est la place canonique de $K$ par rapport à $G$.

c) Montrer que s’il n’existe aucune extension de $G$ contenue dans $K$, distincte de $G$ et comparable à $G$, $k(G)$ est algébrique sur $G$ (remarquer que si $t \in K$ n’appartient pas à $G$, le corps $G(t)$ contient un élément $u \neq 0$ infiniment petit par rapport à $G$, et que $G(t)$ est algébrique sur $G(u)$).