Bài tập 3, § 2

(a) Cho K là một trường và f là một place của K có các giá trị trong một trường có thứ tự được L (Đại số, Chương VI, § 2, Bài tập 8); hãy chỉ ra rằng K là có thể sắp thứ tự được. (Chú ý rằng, đối với một họ hữu hạn các phần tử (a_i)_{1 \leq i \leq n} của K, luôn tồn tại một chỉ số j sao cho f(a_i/a_j) \neq \infty với mọi i.)

Nếu $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy các phần tử của K sao cho $f\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \neq \infty$, hãy chỉ ra rằng $f(x_i) \neq \infty$ với mọi i.

(b) Cho K là một trường có thứ tự và G là một nhóm con của K; hãy chỉ ra rằng vành F(G) gồm các phần tử của K không vô hạn lớn đối với G (loc. cit., Bài tập 11) là một vành định giá của K và iđêan I(G) gồm các phần tử của F(G) vô cùng bé đối với G là iđêan cực đại của vành này; do đó tồn tại trên K một place có các giá trị trong k(G) = F(G)/I(G), rút gọn thành tự đẳng cấu trên G; place này được gọi là place chính tắc của K đối với G.

(c) Hãy chỉ ra rằng, nếu không có mở rộng nào của G được chứa trong K, phân biệt với G và so sánh được với G, thì k(G) là đại số trên G (chú ý rằng, nếu t \in K không thuộc G, trường G(t) chứa một phần tử u \neq 0 vô cùng bé đối với G và G(t) là đại số trên G(u)).