Exercice 4, § 2

On dit qu’un corps ordonné $K$ est euclidien si pour tout $x \geq 0$ dans $K$, il existe $y \in K$ tel que $x = y^2$.**

a) Soient $K$ un corps ordonné euclidien, $G$ un sous-corps de $K$ tel qu’il n’existe aucune extension de $G$ contenue dans $K$, distincte de $G$ et comparable à $G$. Montrer que si $f$ est une place de $K$ à valeurs dans un corps ordonné $L$, extension algébrique de $G$, et se réduisant à l’identité dans $G$, alors $f$ est équivalente à la place canonique de $K$ par rapport à $G$. (On peut considérer que $f$ prend ses valeurs dans un corps ordonné maximal $N$ extension algébrique de $L$. Observer que $G$ est euclidien, et que si $x \in G$, $y \in K$ et $x < y$, on a $f(y) = \infty$ ou $f(y) > x$. Si $A$ et $\mathfrak{p}$ sont l’anneau et l’idéal de la place $f$, montrer successivement que l’on a $\mathfrak{p} \subset I(G)$, $F(G) \subset A$, $I(G) \subset \mathfrak{p}$ et $A \subset F(G)$, en notant que $N$ est comparable à $G$).

b) Soient $K$ un corps ordonné euclidien, $f$ une place de $K$ à valeurs dans un corps ordonné maximal $L$, $A$ et $\mathfrak{p}$ l’anneau et l’idéal de $f$. Soit $G$ un sous-corps maximal parmi les sous-corps $E$ de $K$ tels que $E \cap \mathfrak{p} = 0$. Montrer que $G \subset A$ et que $G$ est algébriquement fermé dans $K$, et par suite euclidien. Prouver qu’il n’existe aucune extension de $G$ contenue dans $K$, distincte de $G$ et comparable à $G$. En outre, le sous-corps de $L$ engendré par $f(A)$ est algébrique sur $f(G)$ et $f$ est par suite équivalente à la place canonique de $K$ par rapport à $G$.

c) Soient $K$ un corps ordonné maximal, $L$ un sous-corps ordonné maximal de $K$, distinct de $K$ et tel que $K$ soit comparable à $L$ (Alg., chap. VI, § 2, exerc. 15). Montrer qu’il n’existe aucune place $f$ de $K$ à valeurs dans $L$, se réduisant à l’automorphisme identique dans $L$.