Bài tập 4, § 2

Người ta nói rằng một trường có thứ tự $K$ là Euclid nếu với mọi $x \geq 0$ trong $K$, tồn tại $y \in K$ sao cho $x = y^2$.**

a) Cho $K$ là một trường Euclid có thứ tự, $G$ là một trường con của $K$ sao cho không tồn tại một mở rộng nào của $G$ được chứa trong $K$, phân biệt với $G$ và so sánh được với $G$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $f$ là một nơi của $K$ có các giá trị trong một trường có thứ tự $L$, là mở rộng đại số của $G$, và thu về đồng nhất trong $G$, thì $f$ tương đương với nơi chính tắc của $K$ đối với $G$. (Có thể xét rằng $f$ nhận các giá trị của nó trong một trường có thứ tự cực đại $N$ là mở rộng đại số của $L$. Nhận xét rằng $G$ là Euclid, và rằng nếu $x \in G$, $y \in K$ và $x < y$, thì có $f(y) = \infty$ hoặc $f(y) > x$. Nếu $A$ và $\mathfrak{p}$ là vành và iđêan của nơi $f$, bây giờ lần lượt chứng minh rằng có $\mathfrak{p} \subset I(G)$, $F(G) \subset A$, $I(G) \subset \mathfrak{p}$ và $A \subset F(G)$, chú ý rằng $N$ là so sánh được với $G$).

b) Cho $K$ là một trường có thứ tự Euclid, $f$ là một vị trí của $K$ có các giá trị trong một trường có thứ tự cực đại $L$, $A$ và $\mathfrak{p}$ là vành và iđêan của $f$. Cho $G$ là một trường con cực đại trong các trường con $E$ của $K$ sao cho $E \cap \mathfrak{p} = 0$. Bây giờ chứng minh rằng $G \subset A$ và rằng $G$ là đóng đại số trong $K$, và do đó là Euclid. Chứng minh rằng không tồn tại mở rộng nào của $G$ được chứa trong $K$, phân biệt với $G$ và so sánh được với $G$. Hơn nữa, trường con của $L$ sinh bởi $f(A)$ là đại số trên $f(G)$ và $f$ do đó tương đương với vị trí chính tắc của $K$ đối với $G$.

c) Cho $K$ là một trường có thứ tự cực đại, $L$ là một trường con có thứ tự cực đại của $K$, phân biệt với $K$ và sao cho $K$ so sánh được với $L$ (Alg., Chap. VI, § 2, Exer. 15). Bây giờ chứng minh rằng không tồn tại vị trí $f$ nào của $K$ có các giá trị trong $L$, thu gọn thành tự đẳng cấu đồng nhất trong $L$.