Exercice 5, § 2

Soient $K$ un corps, $f$ une place de $K$ à valeurs dans un corps ordonné maximal $L$.**

a) Pour tout $\alpha \in K$, montrer qu’il existe une extension de $f$, soit à $K(\sqrt{\alpha})$, soit à $K(\sqrt{-\alpha})$, qui soit une place à valeurs dans $L$. (Considérer deux cas, suivant qu’il existe $a \in K$ tel que $f(a^2 \alpha)$ ne soit ni $0$ ni $\infty$, ou que $f(x^2 \alpha)$ est égal à $0$ ou à $\infty$ pour tout $x \in K$).

b) Déduire de a) qu’il existe une extension $E$ de $K$ qui soit un corps ordonné maximal et un prolongement de $f$ à $E$ qui soit une place de $E$ à valeurs dans $L$. (Se ramener au cas où $K$ est euclidien et utiliser l’exerc. 4 a)).