Bài tập 5, § 2

Cho $K$ là một trường, $f$ là một place của $K$ với các giá trị trong một trường có thứ tự cực đại $L$.**

a) Với mọi $\alpha \in K$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một mở rộng của $f$, hoặc đến $K(\sqrt{\alpha})$, hoặc đến $K(\sqrt{-\alpha})$, là một place với các giá trị trong $L$. (Xét hai trường hợp, tùy theo có tồn tại $a \in K$ sao cho $f(a^2 \alpha)$ không bằng $0$ cũng không bằng $\infty$, hoặc theo trường hợp $f(x^2 \alpha)$ bằng $0$ hoặc bằng $\infty$ với mọi $x \in K$).

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một mở rộng $E$ của $K$ là một trường có thứ tự cực đại và một mở rộng của $f$ đến $E$ là một place của $E$ với các giá trị trong $L$. (Rút gọn về trường hợp $K$ là Euclid và sử dụng Bài tập 4 a)).