Exercice 2, § 4

Soit $G$ un groupe totalement ordonné.

a) Pour tout élément $a > 0$ de $G$, soient $H(a)$ le plus petit sous-groupe isolé contenant $a$, $H^-(a)$ le plus grand sous-groupe isolé ne contenant pas $a$; montrer que $H(a)/H^-(a)$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{R}$.

b) Inversement, si $H$ est un sous-groupe isolé de $G$ tel qu’il existe un plus grand élément (pour la relation d’inclusion) $H'$ dans l’ensemble des sous-groupes isolés de $G$ contenus dans $H$ et $\neq H$, on a $H = H(a)$ et $H' = H^-(a)$ pour tout $a \in H_+ \cap \mathbf{C} H'_+$. On dit qu’un tel sous-groupe isolé $H$ est principal et que $H'$ est son prédécesseur.

c) Si $H_1, H_2$ sont deux sous-groupes de $G$, isolés et distincts tels que $H_1 \subset H_2$, montrer qu’il existe deux sous-groupes isolés $H, H'$ de $G$ tels que $H_1 \subset H' \subset H \subset H_2$ et que $H/H'$ soit isomorphe à un sous-groupe non nul de $\mathbf{R}$.

d) Soit $\Sigma$ l’ensemble (totalement ordonné pour la relation d’inclusion) des sous-groupes isolés de $G$, et soit $\Theta \subset \Sigma$ l’ensemble des sous-groupes isolés principaux. Montrer que $\Sigma$ est isomorphe à l’achèvement ($Ens.$, chap. III, § 1, exerc. 15) de $\Theta$.