Bài tập 2, § 4

Cho G là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần. (a) Với mọi phần tử $a > 0$ của G, đặt $H(a)$ là nhóm con cô lập nhỏ nhất chứa $a$, $H^-(a)$ là nhóm con cô lập lớn nhất không chứa $a$; chứng minh rằng $H(a)/H^-(a)$ đẳng cấu với một nhóm con của $\mathbf{R}$.

(b) Ngược lại, nếu H là một nhóm con cô lập của G sao cho tồn tại một phần tử lớn nhất (đối với quan hệ bao hàm) $H'$ trong tập hợp các nhóm con cô lập của G được chứa trong H và $\neq H$, thì $H = H(a)$ và $H' = H^-(a)$ với mọi $a \in H_+ \cap CH'_+$. Một nhóm con cô lập H như vậy được gọi là chính và $H'$ được gọi là phần tử tiền nhiệm của nó.

(c) Nếu $H_1, H_2$ là hai nhóm con cô lập phân biệt của $G$ sao cho $H_1 \subset H_2$, chứng minh rằng tồn tại hai nhóm con cô lập $H, H'$ của $G$ sao cho $H_1 \subset H' \subset H \subset H_2$ và $H/H'$ đẳng cấu với một nhóm con khác không của $\mathbf{R}$.

(d) Cho $\Sigma$ là tập hợp (được sắp thứ tự toàn phần đối với quan hệ bao hàm) các nhóm con cô lập của $G$ và cho $\Theta \subset \Sigma$ là tập hợp các nhóm con cô lập chính. Chứng minh rằng $\Sigma$ đẳng cấu với phép hoàn thiện (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 15) của $O$.