Exercice 7, § 4

On dit qu’un anneau local intègre $A$ est de dimension 1 si $A$ n’est pas un corps et s’il n’y a aucun idéal premier de $A$ distinct de $(0)$ et de l’idéal maximal $m$ de $A$. Pour tout idéal $a$ de $A$, on désigne par $A : a$ le sous-A-module du corps des fractions de $A$, transporteur de $a$ dans $A$ (qui contient toujours $A$). Dans ce qui suit, $A$ est supposé de dimension 1.

a) Montrer que si $A$ est fortement laskérien (chap. IV, § 2, exerc. 28), on a $A : m \neq A$. (Dans le cas contraire, remarquer que l’on aurait $A : m^r = A$ pour tout entier $r > 0$; d’autre part, tout idéal $\neq 0$ de $A$ et contenu dans $m$ est $m$-primaire, et il en est ainsi en particulier de tout idéal principal $Ax \subset m$ (avec $x \neq 0$); noter enfin que l’on a $m^h \neq m^k$ pour $h \neq k$ (chap. IV, § 2, exerc. 29 d))).

b) Montrer que pour un anneau local intègre $A$ de dimension 1 et fortement laskérien, les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\alpha$ $A$ est complètement intégralement clos. $\beta$ L’idéal maximal $m$ est principal. $\gamma$ Tout idéal $m$-primaire est de la forme $m^k$. $\delta$ L’idéal $m$ est inversible (chap. II, § 5, no 6), ce qui équivaut à $m . (A : m) = A$. $\varepsilon$ $A$ est un anneau de valuation discrète.

(Pour montrer que $\alpha$ entraîne $\delta$), utiliser $a$), et observer que si $m . (A : m)^k = m$ pour tout $k > 0$, $A$ n’est pas complètement intégralement clos (cf. chap. VII, § 1, exerc. 4). Pour voir que $\delta$ entraîne $\gamma$), remarquer que pour tout idéal $a \neq 0$ contenu dans $m$, on peut alors écrire $a = ma_1$ avec $a_1 \neq 0$, et utiliser le chap. IV, § 2, exerc. 29 d). Enfin, pour voir que $\gamma$ entraîne $\beta$), observer que $m \neq m^2$ et que $\gamma$ entraîne que $m / m^2$ est un $(A/m)$-espace vectoriel de dimension 1).

c) Montrer, avec les notations du chap. III, § 3, exerc. 15 b), que l’anneau local $A_m$ est noethérien, intègre, de dimension 1, mais non intégralement clos.

d) Soient $K$ un corps algébriquement clos, $A$ le sous-anneau du corps $K(X, Y)$ des fractions rationnelles en deux indéterminées sur $K$, formé des éléments $f \in K(X, Y)$ tels que 0 soit substituable à $X$ dans $f$ et que $f(0, Y)$ appartienne à $K$. Montrer que $A$ est un anneau local fortement laskérien, de dimension 1 et intégralement clos, mais qu’il n’est pas complètement intégralement clos. (Si $B$ est l’anneau de polynômes $K[X, Y]$, $p$ l’idéal premier $BX$ de $B$, noter que $A$ est le sous-anneau de $B_p$ égal à $K + pB_p$) (*).