Bài tập 7, § 4

Một miền nguyên địa phương A được gọi là có chiều 1 nếu A không là một trường và không có iđêan nguyên tố nào của A phân biệt với (0) và iđêan cực đại m của A. Với mọi iđêan $a$ của A, ký hiệu A: $a$ là môđun con trên-A của trường các phân thức của A là toán tử chuyển của $a$ trong A (luôn chứa A). Trong phần sau đây, giả sử A có chiều 1.

(a) Chứng minh rằng, nếu A là Laskerian mạnh (Chương IV, § 2, Bài tập 28), thì $A : m \neq A$. (Trong trường hợp đối, chú ý rằng $A : m^r = A$ với mọi số nguyên $r > 0$; mặt khác, mọi iđêan $\neq 0$ của A được chứa trong m đều là m-nguyên sơ và do đó đặc biệt mọi iđêan chính $Ax \subset m$ (với $x \neq 0$) cũng vậy; cuối cùng chú ý rằng $m^h \neq m^k$ với $h \# k$ (Chương IV, § 2, Bài tập 29 (d)).

(b) Chứng minh rằng đối với một miền nguyên địa phương A Laskerian mạnh có chiều 1, các tính chất sau là tương đương:

(α) A là đóng nguyên hoàn toàn. (β) Iđêan cực đại m là chính.

(γ) Mọi iđêan m-nguyên sơ đều có dạng $m^k$. (δ) Iđêan $m$ là khả nghịch (Chương II, § 5, no. 6), điều này tương đương với $m \cdot (A : m) = A$. (ε) $A$ là một vành định giá rời rạc. (Để chứng minh (α) kéo theo (δ), dùng (a) và nhận xét rằng nếu $m \cdot (A : m)^k = m$ với mọi $k > 0$, thì A không đóng nguyên hoàn toàn (xem Chương VII, § 1, Bài tập 4). Để thấy rằng (6) kéo theo (y), chú ý rằng với mọi iđêan $a \neq 0$ được chứa trong $m$, ta có thể viết $a = ma_1$, trong đó $a_1 \neq 0$ và dùng Chương IV, § 2, Bài tập 29 (d). Cuối cùng, để thấy rằng (y) kéo theo (β), nhận xét rằng $m \neq m^2$ và rằng (γ) kéo theo $m/m^2$ là một không gian vectơ 1-chiều $(A/m)$.)

(c) Chứng minh, trong ký hiệu của Chương III, § 3, Bài tập 15 (b), rằng vành địa phương $A$ là một miền nguyên Noether có chiều 1 nhưng không đóng nguyên.

(d) Cho $K$ là một trường đóng đại số và $A$ là vành con của trường $K(X, Y)$ các hàm hữu tỉ theo hai bất định trên $K$ gồm các phần tử $f \in K(X, Y)$ sao cho 0 có thể thế cho $X$ trong $f$ và $f(0, Y)$ thuộc về $K$. Chứng minh rằng $A$ là một miền nguyên địa phương Laskerian mạnh đóng nguyên có chiều 1 nhưng không đóng nguyên hoàn toàn. (Nếu $B$ là vành đa thức $K[X, Y]$, $p$ là iđêan nguyên tố $BX$ của $B$, chú ý rằng $A$ là vành con của $B_p$ bằng $K + pB_p$.) (*)