Exercice 1, § 5

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions, $\mathscr{T}$ une topologie linéaire sur $A$ (chap. III, § 2, exerc. 21).

a) Pour que les voisinages de $0$ pour $\mathscr{T}$ constituent un système fondamental de voisinages de $0$ pour une topologie $\mathscr{T}_K$ compatible avec la structure d’anneau de $K$, il faut et il suffit que $\mathscr{T}$ soit la topologie $\mathscr{T}_u(A)$ (chap. III, § 2, exerc. 24); alors $A$ est une partie bornée pour $\mathscr{T}_K$ et $\mathscr{T}_K$ est une topologie séparée localement bornée (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 6, exerc. 12 et 20 e)). Pour que $K$ soit complet (resp. linéairement compact, resp. strictement linéairement compact (chap. III, § 2, exerc. 21)) pour $\mathscr{T}_K$, il faut et il suffit que $A$ le soit pour $\mathscr{T}$.

b) Pour que la topologie $\mathscr{T}_K$ (où $\mathscr{T} = \mathscr{T}_u(A)$) soit compatible avec la structure de corps de $K$, il faut et il suffit que le radical $\mathfrak{R}(A)$ de $A$ soit $\neq 0$.