Bài tập 1, § 5

Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó và $\mathscr{T}$ là một tôpô tuyến tính trên A (chương 111, § 2, Bài tập 21).

(a) Để các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0 đối với một tôpô nào đó $\mathscr{T}_K$ tương thích với cấu trúc vành trên K, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{T}$ là tôpô $\mathscr{T}_u(A)$ (chương III, § 2, Bài tập 24); khi đó A là một tập con bị chặn đối với $\mathscr{T}_K$ và $\mathscr{T}_K$ là một tôpô Hausdorff địa phương bị chặn (Tôpô đại cương, chương 111, § 6, các Bài tập 12 và 20 (e)). Để K đầy đủ (tương ứng, compact tuyến tính, tương ứng, compact tuyến tính chặt chẽ (chương 111, § 2, Bài tập 21)) với $\mathscr{T}_K$, điều kiện cần và đủ là A cũng có tính chất đó với $\mathscr{T}$.

(b) Để tôpô $\mathscr{T}_K$ (trong đó $\mathscr{T} = \mathscr{T}_u(A)$) tương thích với cấu trúc trường trên K, điều kiện cần và đủ là căn Jacobson $\mathfrak{R}(A)$ của A khác 0.