Exercice 10, § 5

Les hypothèses et notations sont celles de l’exerc. 9.

a) Si M est un A-module topologique discret, montrer que M est un module de torsion. Si de plus M est linéairement compact, montrer que M est artinien (si N est le noyau de l’endomorphisme x → πx, observer que N est linéairement compact et discret, et peut être considéré comme $(A/\pi A)$-espace vectoriel; utiliser alors l’exerc. 20 d) du chap. II, )

b) Déduire de a) que tout A-module topologique linéairement compact est strictement linéairement compact (chap. II, § 2, exerc. 19).

c) On appelle dual torique topologique d’un A-module topologique M le sous-module $M'$ du dual torique algébrique $M^*$, formé des homomorphismes continus de M dans $K/A$ (ce dernier étant muni de la topologie discrète). Si la topologie de M est linéaire (chap. II, § 2, exerc. 14) et si N est un sous-module fermé de M, montrer que le dual torique topologique de $M/N$ s’identifie à $N^0 \cap M'$ et celui de N à $M'/(N^0 \cap M')$ (pour déterminer le dual de N, remarquer que, pour tout homomorphisme continu $u$ de N dans $K/A$, il existe un sous-module ouvert U de M tel que $u(x) = 0$ dans $N \cap U$, puis utiliser l’exerc. 9).

d) Pour un A-module topologique M de rang fini, le dual torique topologique $M'$ est égal au dual torique algébrique $M^*$ (se ramener au cas des modules de rang un).

e) Soit M un A-module topologique séparé dont la topologie est linéaire; montrer que pour tout $x \neq 0$ dans M, il existe un $u \in M'$ tel que $u(x) \neq 0$ (remarquer qu’il existe un sous-module ouvert U de M tel que $x \notin U$); autrement dit, l’application canonique $M \to (M')^*$ est injective. En déduire que si N est un sous-module fermé de M, $N^0 \cap M'$ est dense dans $N^0$ pour la topologie $\sigma(M^*, M)$ (utiliser d)), et par suite on a $N = M \cap (N^0 \cap M')^0$ dans $M^{**}$.

Montrer que M est dense dans $(M')^*$ pour la topologie $\sigma((M')^*, M')$.

f) Soit M un A-module topologique linéairement compact; montrer que l’injection canonique $M \to (M')^*$ est une bijection, et que la topologie de M (identifié à $(M')^*$) est égale à $\sigma(M, M')$. (Observer que si U est un sous-module ouvert de M, $M/U$ est artinien par a), et par suite $U^0$ est noethérien (exerc. 9 c)), et en déduire l’identité des topologies considérées sur M; terminer à l’aide de e)).

g) Soient M, N deux A-modules topologiques dont les topologies sont linéaires; pour tout homomorphisme continu $u : M \to N$, on a $^t u(N') \subset M'$, et l’on désigne encore par $^t u$ (par abus de notation) l’application linéaire de $N'$ dans $M'$ ayant même graphe que $^t u$. Si M et N sont séparés, montrer que la restriction à M de $^t(u)$ coïncide avec $u$ (M et N étant respectivement considérés comme plongés canoniquement dans $(M')^*$ et $(N')^*$); en outre, pour tout sous-module fermé Q de N, on a $(u^{-1}(Q))^0 \cap M' = ^t u(Q^0)$ (utiliser e)).

h) Soit M un A-module linéairement compact; déduire de g) et de l’exerc. 9 f) que, pour que M soit sans torsion, il faut et il suffit que $M'$ soit divisible, et pour que M soit divisible, il faut et il suffit que $M'$ soit sans torsion.