Bài tập 10, § 5

Các giả thiết và ký hiệu giống như trong Bài tập 9.

(a) Nếu M là một A-môđun tôpô rời rạc, hãy chứng minh rằng M là một môđun xoắn. Nếu thêm M là compact tuyến tính, hãy chứng minh rằng M là Artin (nếu N là hạt nhân của tự đồng cấu $x \mapsto \pi x$, hãy chú ý rằng N là compact tuyến tính và rời rạc và có thể được xem như một không gian vectơ $(A/\pi A)$; sau đó sử dụng Bài tập 20 (d) của Chương II, § 2).

(b) Suy ra từ (a) rằng mọi A-môđun tôpô compact tuyến tính đều là compact tuyến tính nghiêm ngặt (Chương II, § 2, Bài tập 19).

(c) Đối ngẫu xuyến tôpô của một A-môđun tôpô M là môđun con $M'$ của đối ngẫu xuyến đại số $M^*$ gồm các đồng cấu liên tục từ M vào K/A (cái sau được cho tôpô rời rạc). Nếu tôpô trên M là tuyến tính (Chương II, § 2, Bài tập 14) và N là một môđun con đóng của M, hãy chứng minh rằng đối ngẫu xuyến tôpô của M/N được đồng nhất với $N^0 \cap M'$ và đối ngẫu xuyến tôpô của N được đồng nhất với $M'/(N^0 \cap M')$ (để xác định đối ngẫu của N, hãy chú ý rằng, với mọi đồng cấu liên tục $u$ từ N vào K/A, tồn tại một môđun con mở U của M sao cho $u(x) = 0$ trong $N \cap U$, sau đó sử dụng Bài tập 9).

(d) Đối với một A-môđun tôpô M có hạng hữu hạn, đối ngẫu xuyến tôpô M' bằng đối ngẫu xuyến đại số M* (rút gọn về trường hợp các môđun có hạng một).

(e) Cho M là một A-môđun tôpô Hausdorff có tôpô là tuyến tính; hãy chứng minh rằng với mọi $x \neq 0$ trong M, tồn tại $u \in M'$ sao cho $u(x) \neq 0$ (hãy chú ý rằng tồn tại một môđun con mở U của M sao cho $x \notin U$); nói cách khác, ánh xạ chính tắc $M \to (M')^*$ là đơn ánh. Suy ra rằng, nếu N là một môđun con đóng của M, $N^0 \cap M'$ là trù mật trong $N^0$ với tôpô $\sigma(M^*, M)$ (sử dụng (d)), và do đó $N = M \cap (N^0 \cap M')^0$ trong $M^{**}$.

Chứng minh rằng M là trù mật trong $(M')^*$ với tôpô $\sigma((M')^*, M')$.

(f) Cho M là một A-môđun tôpô compact tuyến tính; hãy chứng minh rằng đơn ánh chính tắc $M \to (M')^*$ là một song ánh và tôpô trên M (được đồng nhất với $(M')^*$) bằng $\sigma(M, M')$. (Hãy chú ý rằng, nếu U là một môđun con mở của M, M/U là Artin theo (a) và do đó $U^0$ là Noether (Bài tập 9 (c)) và suy ra các đẳng thức của các tôpô được xét trên M; hoàn thiện nhờ (e).)

(g) Cho M, N là hai A-môđun tôpô có các tôpô là tuyến tính; với mọi đồng cấu liên tục $u : M \to N$, $^t u(N') \subset M'$ và $^t u$ cũng được dùng (do lạm dụng ký hiệu) để chỉ ánh xạ tuyến tính từ N' vào M' có cùng đồ thị với $^t u$. Nếu M và N là Hausdorff, hãy chứng minh rằng hạn chế trên M của $^t (t u)$ trùng với $u$ (M và N lần lượt được xem như được nhúng một cách chính tắc vào $(M')^*$ và $(N')$; hơn nữa, với mọi môđun con Q của N,

(sử dụng (e)).

(h) Cho M là một A-môđun compact tuyến tính; suy ra từ (g) và Bài tập 9 (f) rằng để M không xoắn, điều kiện cần và đủ là M' chia được và để M chia được, điều kiện cần và đủ là M' không xoắn.