Exercice 6, § 5

a) Soient $A$ un anneau de valuation, $M$ un $A$-module, $M'$ un sous-module de $M$. Montrer que pour que $M'$ soit un sous-module pur de $M$ (chap. I, § 2, exerc. 24), il faut et il suffit que pour tout $\alpha \in A$, on ait $M' \cap (\alpha M) = \alpha M'$.

b) Soit $M'$ un sous-module pur de $M$, tel que, si l’on munit $M'$ de la topologie dont les $\alpha M'$ (où $\alpha \in A, \alpha \neq 0$) forment un système fondamental de voisinages de $0$, $M'$ soit linéairement compact. Montrer que pour tout élément $x \in M$, il existe un $y' \in M'$ tel que $x' = x + y'$ ait la propriété suivante : pour tout $\alpha \in A$ tel que $x + M' \in \alpha(M/M')$, on a $x' \in \alpha M$. (Pour chacun des $\alpha \in A$ tels que $x + M' \in \alpha(M/M')$, considérer la partie $S_\alpha$ de $M'$ formée des $y'_\alpha$ tels que $x + y'_\alpha \in \alpha M$).

c) On suppose que $A$ soit un anneau de valuation linéairement compact ; soit $K$ le corps des fractions de $A$. Montrer que si $M$ est un $A$-module sans torsion tel que $M_{(K)}$ admette une base dénombrable, $M$ est somme directe d’une famille dénombrable de $A$-modules de rang 1. (Considérer $M$ comme réunion d’une suite croissante $(M'_i)$ de sous-modules purs tels que $M'_i$ soit de rang $i$, et pour chaque $i$, appliquer b) à $M'_i$ et à son sous-module $M'_{i-1}$).

d) Les hypothèses sur $A$ et $M$ étant les mêmes que dans c), soit $N$ un sous-module pur de $M$, de rang fini. Montrer que $N$ est facteur direct de $M$ (observer que tout $A$-module qui est somme directe d’un nombre fini de $A$-modules de rang 1 est linéairement compact et utiliser b)).

e) Les hypothèses sur M et M' étant celles de b), montrer que pour tout x ∈ M, il existe y' ∈ M' tel que l’annulateur de x' = x + y' soit égal à l’annulateur de l’élément x + M' ∈ M/M'. (Soit a l’annulateur de x + M'; pour tout α ∈ a, soit T_α la partie de M' formée des y' tels que α(x + y') = 0; montrer que l’intersection des T_α n’est pas vide).

f) On suppose que A soit un anneau de valuation tel que pour tout idéal a ≠ 0, le A-module A/a soit linéairement compact (pour la topologie discrète). Montrer que tout A-module de torsion de type fini M est somme directe d’un nombre fini de A-modules monogènes. (Si (z_i)_{1 ≤ i ≤ n} est un système de générateurs de M, raisonner par récurrence sur n, en considérant un des z_i dont l’annulateur est le plus petit et en remarquant que le sous-module de M qu’il engendre est pur).