Bài tập 6, § 5

(a) Cho A là một vành định giá, M là một A-môđun và M' là một môđun con của M. Chứng minh rằng để M' là một môđun con thuần của M (Chương I, § 2, Bài tập 24), điều kiện cần và đủ là, với mọi $a \in A$, $M' \cap (\alpha M) = \alpha M'$.

(b) Cho M' là một môđun con thuần của M sao cho, nếu M' được trang bị tôpô mà các $\alpha M'$ (trong đó $a \in A, a \neq 0$) lập thành một hệ cơ sở các lân cận của 0, thì M' là compact tuyến tính. Chứng minh rằng với mọi phần tử $x \in M$ tồn tại $y' \in M'$ sao cho $x' = x + y'$ có tính chất sau: với mọi $a \in A$ sao cho $x + M' \in \alpha(M/M')$, thì $x' \in \alpha M$. (Với mỗi $a \in A$ sao cho $x + M' \in \alpha(M/M')$, xét tập con S của M' gồm các $y'_\alpha$ sao cho $x + y'_\alpha \in \alpha M$.)

(c) Giả sử A là một vành định giá compact tuyến tính; gọi K là trường phân thức của A. Chứng minh rằng, nếu M là một A-môđun không xoắn sao cho $M_{(K)}$ nhận một cơ sở đếm được, thì M là tổng trực tiếp của một họ đếm được các A-môđun hạng 1. (Coi M như hợp của một dãy tăng $(M'_i)$ các môđun con thuần sao cho $M'_i$ có hạng i và với mỗi i áp dụng (b) cho $M'_i$ và môđun con $M'_{i-1}$ của nó.)

(d) Với cùng các giả thiết về A và M như trong (c), cho N là một môđun con thuần của M có hạng hữu hạn. Chứng minh rằng N là một nhân tử trực tiếp của M (nhận xét rằng mọi A-môđun là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các A-môđun hạng 1 là compact tuyến tính và sử dụng (b)).

(e) Với cùng các giả thiết về M và M' như trong (b), chứng minh rằng với mọi $x \in M$ tồn tại $y' \in M'$ sao cho linh hóa tử của $x' = x + y'$ bằng linh hóa tử của phần tử $x + M' \in M/M'$. (Gọi a là linh hóa tử của $x + M'$; với mọi $a \in a$, gọi T, là tập con của M' gồm các y' sao cho $a(x + y') = 0$; chứng minh rằng giao của các T, là khác rỗng.)

(f) Giả sử A là một vành định giá sao cho với mọi iđêan $a \neq 0$ A-môđun A/a là compact tuyến tính (với tôpô rời rạc). Chứng minh rằng mọi A-môđun xoắn sinh hữu hạn M là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các A-môđun đơn sinh. (Nếu $(z_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ các phần tử sinh của M, lập luận bằng quy nạp theo n, xét một trong các $z_i$ có linh hóa tử nhỏ nhất và nhận thấy rằng môđun con của M sinh bởi nó là thuần.)