Exercice 1, § 7

Soit $(\varphi_i)_{i \in I}$ une famille de places d’un corps $K$, prenant leurs valeurs dans un nombre fini de corps; on suppose en outre que pour un $x \in K$, l’ensemble des $\varphi_i(x)$ soit fini. Montrer qu’il existe un polynôme $f(X)$ de la forme (1) du no 1 tel que $f(x) \neq 0$ et que l’élément $z = f(x)^{-1}$ jouisse des propriétés suivantes: (i) $\varphi_i(x) = \infty$ implique $\varphi_i(xz) = 0$ et $\varphi_i(z) = 0$; (ii) $\varphi_i(x) \neq \infty$ implique $\varphi_i(xz) \neq \infty$ et $\varphi_i(z) \neq 0$. (Même démonstration que pour le lemme 1).