Exercice 5, § 8

Soient K un corps, A un anneau de valuation pour K, L une extension algébrique de K de degré fini. Soit A' \supseteq A un second anneau de valuation pour K; soient A'_i (1 \leq i \leq m) les anneaux de valuation pour L tels que A'_i \cap K = A', et soient k'_i leurs corps résiduels respectifs. Soient k le corps résiduel de A', A'' l’anneau de valuation pour k image canonique de A; soient enfin A''_{ij} (1 \leq j \leq n_i) les anneaux de valuation pour k'_i tels que A''_{ij} \cap k = A'', et A_{ij} les images réciproques dans A'_i des A''_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n_i).

a) Montrer que les A_{ij} sont des anneaux de valuation pour L, deux à deux distincts, tels que A_{ij} \cap K = A, et que tout anneau de valuation B pour L tel que B \cap K = A est égal à l’un des A_{ij}.

b) Montrer que l’on a