Exercice 1, § 9

a) Soient $K$ un corps (non nécessairement commutatif), $\mathscr{T}$ une topologie d’espace localement compact sur $K$, compatible avec la structure d’anneau de $K$; montrer que $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de corps de $K$. (Utiliser le th. de R. Ellis (Top. gén., chap. X, exerc. 25) ou raisonner directement en reprenant les démonstrations de Intégr., chap. VII, § 1, no 10 et celles de la prop. 1 du présent paragraphe)

b) Donner un exemple de topologie localement compacte sur un corps commutatif K, qui est compatible avec la structure de groupe additif de K, mais non avec sa structure d’anneau. (Prendre pour K le corps des fractions d’un anneau d’intégrité compact A (A étant par exemple un anneau de séries formelles k[[X, Y]], où k est fini), et prendre pour système fondamental de voisinages de 0 dans K les voisinages de 0 dans A).