Bài tập 1, § 9

(a) Cho K là một trường (không nhất thiết giao hoán) và $\mathscr{T}$ là một tôpô compact địa phương trên K tương thích với cấu trúc vành trên K; hãy chỉ ra rằng $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc trường trên K. (Sử dụng Định lý của R. Ellis (General Topology, chương X, § 3, Bài tập 25) hoặc lập luận trực tiếp bằng cách lặp lại các chứng minh của Integration, chương VII, § 1, no. 10 và các chứng minh của Mệnh đề 1 của đoạn này.)

(b) Hãy cho một ví dụ về một tôpô compact địa phương trên một trường giao hoán K, tương thích với cấu trúc nhóm cộng trên K, nhưng không tương thích với cấu trúc vành của nó. (Lấy K là trường các phân thức của một miền nguyên compact A (A chẳng hạn là một vành các chuỗi lũy thừa hình thức $k[[X, Y]]$, trong đó $k$ là hữu hạn) và lấy làm hệ cơ sở các lân cận của 0 trong K các lân cận của 0 trong A.)