Exercice 2, § 9

a) Dans un espace $\mathbf{R}^n (n \geq 2)$, soit U un ensemble ouvert non vide et d’extérieur non vide; montrer que la frontière de U contient un ensemble parfait non vide (cf. Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, exerc. 17).

b) Déduire de a) que si A est une partie partout dense de $\mathbf{R}^n$ qui rencontre tout ensemble parfait dans $\mathbf{R}^n$, A est connexe.

c) Montrer qu’il existe dans C un sous-corps partout dense K, connexe et localement connexe, et qui est une extension transcendante pure de Q (appliquer Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 5, exerc. 18 b) et c), en construisant K par récurrence transfinie, utilisant b) et la méthode décrite dans Ens., chap.III, 2e éd., § 6, exerc. 24). En déduire qu’il existe un sous-corps $K' \supset K$ de C, isomorphe (algébriquement) à $\mathbf{R}$, connexe et localement connexe.

d) Montrer, en utilisant c), qu’il existe sur C une topologie d’espace connexe et localement connexe, compatible avec la structure de corps, et pour laquelle le complété de C est une algèbre sur C, composée directe de deux corps isomorphes à C.